Râpez la vanille, réservez. Lavez les patates et sans les épluchez les faire cuire dans de l'eau bouillante comme des pommes de terre. Après cuisson, retirez la peau des patates. Écrasez les patates dans un grand saladier. Mélangez la purée de patates avec le beurre, la vanille râpée, les œufs entiers, le rhum et le sucre. Ajoutez le lait tout en remuant afin d'obtenir un pâte épaisse. Préchauffez le four.

Versez le mélange dans un moule allant au four (moule à cake ou à génoise). Faites cuire thermostat 7 comme une génoise en vérifiant la cuisson interne à l'aide d'une pointe de couteau (1 heure à 120°puis 30 minutes à 180°). Laissez dorer le dessus avant de sortir du four.

Laissez refroidir avant de démouler et de servir.